Кольцо (геометрия)

Кольцо — плоская геометрическая фигура, ограниченная двумя концентрическими окружностями.

Открытое кольцо является топологическим эквивалентом цилиндра [math]\displaystyle{ S^1 \times (0,1) }[/math] и проколотой плоскости.

Площадь кольца

Площадь кольца, ограниченного окружностями радиусов R и r, определяется как разность площадей кругов с такими радиусами:

[math]\displaystyle{ A = \pi(R^2 - r^2) }[/math]

Площадь кольца также может быть вычислена путём умножения числа пи на квадрат половины длины самого большого отрезка, лежащего внутри кольца. Это можно доказать через теорему Пифагора — такой отрезок будет являться касательной к кругу меньшего радиуса. Половина длины отрезка с радиусами r и R образуют прямоугольный треугольник.

В комплексном анализе

Kольцо [math]\displaystyle{ \mathrm{ann}(a; r, R) }[/math] на комплексной плоскости определяется следующим образом:

[math]\displaystyle{ \mathrm{ann}(a; r, R)=\{\,z\in\mathbb{C}\mid r \lt |z-a| \lt R\,\}. }[/math]

Kольцо является открытым множеством Если r равно 0, область называется проколотым диском радиуса R вокруг точки a.

Как подмножество комплексной плоскости кольцо может рассматриваться в качестве Римановой поверхности. Комплексная структура кольца зависит только от отношения r/R. Каждое кольцо ann(a; r, R) может быть голоморфно отображено в расположенное в начале координат стандартное кольцо с внешним радиусом 1 с помощью отображения:

[math]\displaystyle{ z \mapsto \frac{z-a}{R}. }[/math]

Внутренний радиус тогда будет r/R < 1.

Свойства

Теорема Адамара о трёх кругах устанавливает максимальное значение, принимаемое аналитической функцией внутри кольца.

Ссылки

Площадь кольца, формула, интерактивная анимация (англ.)